بازی شطرنج باچند نفر به طور هم زمان :

پسربچه ای به نام علی را در نظر میگیریم كه در دبستان درس میخواند و استعداد ریاضی فوق العاده ای دارد ولی بازی شطرنج را بتازگی آغاز كرده و تنها می داند مهره ها را چگونه باید حركت داد . در عوض 2 فرد دبیرستانی به نامهای محسن و حسن ، افرادی هستن كه امیدهای بزرگی برای شطرنجند و شطرنج بازان بزرگ آنها را می شناسند و برای پیروزی به آنها ارزش قایلند .وقتی این سه نفر دور هم جمع بودند و در مورد شطرنج صحبت میكردند محسن و حسن روایت كردند كه چگونه استادان بزرگ شطرنج بدون هیچ زحمتی با 40 تا 50 نفر به طور هم زمان شطرنج بازی می كنند .علی بلافاصله گفت : من همین حالا حاضرم در مقابل 2 نفر به طور هم زمان شطرنج بازی كنم ، نمی خواهید با من بازی كنید ؟؟

محسن و حسن مات و مبهوت شدند كه چگونه یك بچه دبیرستانی ، كه تازه با حركت مهره ها آشنا شده به خود جرات میدهد تا 2 شطرنج باز قوی و پر تجربه را به مبارزه دعوت كند .علی پیشنهاد كرد تنها اجازه بدهید نحوه انتخاب مهره ها برای بازی با من باشد.اما حسن قبول نكرد و مهره خود را انتخاب كرد و بعد علی انتخاب كرد و بعد محسن انتخاب كرد . محسن گفت : علی عزیز ، اگر تو بتوانی دست كم در برابر یكی از ما 2 نفر شكست نخوری من حاضرم كلاه خودم را بخورم .در پایان مبارزه خطری جدی كلاه محسن را تهدید میكرد و تنها بعد از آن كه علی از قرار اولیه و حق خود صرف نظر كرد ، كلاه محسن سالم ماند و خود محسن از خورد آن معاف شد . علی چگونه توانست دست كم در یكی از بازیها از شكست خود جلوگیری كند ؟؟علی در بازی تكی با هر كدام از آن دو شكست میخورد اما حالا توانست یكی از آن دو را شكست دهد چگونه ؟؟در ضمن فرد چهارمی هم وجود نداشت كه علی را راهنمایی كند !!!!!!!

جواب --> اون فقط كاری كه میكرد این بود كه حركت هركدام را برای دیگری انجام میداد ... یعنی در اصل اون فقط یك واسطه بود و از خودش حركتی انجام نمی داد

- در یك مهمانی كه من در آن شركت كرده بودم جز من كه فقط با یك نفر دیگر دست دادم هر یك از مهمانان با سه نفر دیگر دست داد. پرسش اول : ایا شما میتوانید دست كم تعداد حاضران در این مهمانی را حدس بزنید؟ پرسش دوم:ایا تعداد شركت كنندگان در این مهمانی میتواند ?? نفر باشد؟

جواب --> دست كم ? نفر

اما بیست و یك نفر نمیتوانند باشند زیرا 19*3+2=59 كه یك عدد زوج نیست.

اما درباره اینكه چرا نمیتوانند بیست و یك نفر باشند.

اگر در شكل فوق مدیر را كنار بگذاریم یك گراف خواهیم داشت با پنج گره .گره آبی از درجه دو(فراموش نكنیم كه مدیر را كنار گذاشته ایم)و چهار گره سبز از درجه سه،پس مجموع درج های گره ها برابر ?*?+?=?? میباشد.از طرفی مشخص است كه مجموع درجه های یك گراف باید زوج باشد و نمیتواند فرد باشد(در این مثال چون دست دادن یك رابطه دوطرفه است پس مجموع دست دادن ها باید یك عدد زوج باشد).

حال اگر شمار افراد برابر ?? نفر باشد با كنار گذاشتن مدیر بیست نفر خواهیم داشت كه یك نفر با دو نفر دست داده است و ?? نفر با سه نفر دست داده اند كه مجموع دست دادن ها برابر ?+?*??=?? میشود كه بطور روشن غیر ممكن است.

- دو مرد یك كوزه هشت لیتری پر از روغن دارند.دو كوزه خالی سه و پنج لتری هم دارند.چگونه میتوانند با استفاده از این سه كوزه روغن را بطور مساوی و دقیق بین خود تقسیم كنند؟

*** ? بار جابجایی

- احتمالا تا به حال ایستادن یا نشستن بر روی چهار پایه ای كه طول پاهایش مساوی نیست تجربه كرده اید.و لق زدن ان شما را هم كلافه كرده است. حالا فكر میكنید سه پایه هم ممكن است لق بزند؟

جواب --> هر جسمی دارای یك مركز ثقل (گرانیگاه ) میباشد و بر حسب وضع قرارگیری جسم بر روی زمین نسبت به ماندگاری خود در آن وضعیت دارای دو نوع تعادل است یعنی یا تعادل آن پایدار است یا نا پایدار .

مثلا یك كره همگن را اگر در نظر بگیرید درست در وسط آن مركز ثقل آن قرار دارد ولی به علت كروی بودن سطح آن تعادل آن نا پایدار است .حال برای اینكه جسمی دارای وضعیت تعادل باشد میبایست :

?- نیروی مركز ثقل عمور بر سطح زمین (هموار) یا در امتدار (در راستای) جاذبه زمین باشد .?- راستای(بردار) مركز ثقل در وسط جسم و در مركز نقاط تماس جسم با زمین قرار بگیرد .

در نتیجه اگر بخواهیم سه پایه ما دارای وضعیت تعادل پایدار باشد (كاری به شكل ظاهری آن نداریم )

میبایست آن را به گونه ای طراحی نمود كه فاصله مركز ثقل از پیرامون نشیمنگا (محل نشستن )سه پایه به یك اندازه باشد و اگر از این فقطه فرضی (مركز ثقل ) ما شاقولی آویزان كنیم فاصله شاقول تا تكیه گاه های سه پایه به یك اندازه باشد .

با این اوصاف حتی در سطوح شیبدار هم می توان سازهای ساخت كه دارای تعادل پایدار باشد یعنی مركز ثقل در راستای جاذبه وخط (بردار ) بیانگر مركزثقل درست در وسط تكیه گاهها باشد یعنی فاصله آن از تمام تكیه گاه به یك اندازه باشد .

- كم كردن حجم مبادلات پول

در سیستم پول ایالات متحده امریكا هر دلار به 100 قسمت تقسیم میشود .هر یك صدم دلار یك سنت است و سكه های 1- سنتی (پنی )، 5- سنتی (نیكل )، 10 ? سنتی (دایم) و 25 - (كوارتر ) رایج می باشند . اگر شما خریدی 29 سنتی انجام دهید و یك اسكناس یك دلاری خرج كنید ، فروشنده به شما 2 كوارتر ، 2 دایم و 1 پنی خواهد داد ، همچنین میتواند 7 دایم و 1 پنی به شما بدهد. بهر حال 5 سكه باید مبادله شود . آیا راهی برای كم كردن حجم مبادلات وجود دارد؟؟

جواب --> بر اساس تحقیقی كه جفری شالیت از دانشگاه واترلو انجام داده است ،در سیستم چهار سكه ای جاری، به طور متوسط در هر مبادله 7/4 سكه رد و بدل می شود شالیت كشف كرده است كه در سیستم 4 سكه ای ، تركیب 1- سنتی ، 5- سنتی، 18- سنتی و 25- سنتی حجم مبادلات را به 89/3 سكه در هر مبادله كاهش می دهد . جالب اینجاست كه تركیب سكه های 1- سنتی، 5- سنتی ، 18- سنتی و 29- سنتی نیز نتیجه ای مشابه بدست می دهد . بنابر این با بكارگیری هر یك از سیستمهای فوق 17 درصد در مبادلات سكه صرفه جویی خواهد شد .پس با عوض كردن دایم با سكه 18- سنتی خدمات سریعتری می توان به مشتریان ارائه داد . البته نباید فراموش كرد كه محاسبات ذهنی با یك سكه 18 ? سنتی مشكل تر و وقت گیر تر از كار كردن با سكه های موجود است . به جای تعویض دایم با یك سكه 18- سنتی ، تحقیق درباره امكان اضافه كردن یك سكه به سیستم موجود نیز قابل بررسی است:

اضافه كردن یك 32- سنتی ، حجم مبادلات را به 46/3 سكه در هر مبادله كاهش می دهد.نكته جالب تر اینكه اگر استفاده از سكه غیر معمول 50- سنتی نیز بیشتر شود، سكه ای كه حجم مبادلات را حداقل می كند یك 18- سنتی است. برای اطلاعات بیشتر می توانید به مقاله : آنچه این كشور احتیاج دارد یك سكه 18 سنتی است . چاپ شده در شماره 2 جلد 25، مجلهMathematical Intelligencer یا به نشانی www.math.uwaterloo.ca/~shalit/papers.html مراجعه كنید.

- در قانونی در باره ئ پرچم فرانسه، نوشته شده بود كه این سه رنگ عمودی در كنار هم، نباید با پهنای یكسان، بلكه به نسبت آبی 30 ؛ سفید 37 ؛ سرخ 33 ،.دلیل این قانون چه بوده است؟

جواب -->به علت خطای دید، اگر پهنای سه نوار آبی، سفید و قرمز یكسان باشد، چشم ما آنها را یكسان نخواهد دید؛ بنا بر این، فرانسوی ها خودشان این خطا را اصلاح كرده اند و پهنای نوار ها را به گونه ای انتخاب كرده اند كه در عمل یكسان دیده می شوند

- مغلطه ی ریاضی

مگر همچنین چیزی ممكن است

در نگاه اول این اثبات درست بنظر میرسد ولی اگر خوب توجه كنید پر از اشتباه است!! مثلا در خط چهارم انجایی كه دو طرف را بر (a - b) تقسیم میكند ,

از انجایی كه a = b پس a - b برابر صفر است و هر چیزی تقسیم بر صفر بی معنی است پس این اثبات اشتباه است.بقیه اشتباهات را شما پیدا كنید؟؟

--------------------------------------------------------------------------------

- وقتی 12 = 13 میشود

این مسله جواب ساده ای دارد:

12x13=13x12

معنی ان این است كه 12 مرد به اندازه 13 واحد میتواند هم اندازه ی  13 مرد به اندازه 12 واحد  باشد ....

قبل از جابجایی :

1 - 12

2 -11

3 - 10

4 - 9

5 - 8

6 - 7

7 - 6

8 - 5  

9 - 4

10 - 3

11 - 2

12 - 1

در صورتی كه علامت " - "  بین این اعداد خط جابجایی در تصویر است...

بعد از جابجایی :

0 - 12

1 - 11

2 - 10

3 - 9

4 - 8

5 - 7

6 - 6

7 - 5

8 - 4

9 - 3

10 - 2

11 - 1

12 - 0

---------------------------------------------------------------------------

- وقتی 64 = 65 میشود

-------------------------------------------------------------------------------------

- مربع گمشده کجاست؟

------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------

- در یك صفحه ی شطرنج، چند مربع می توان یافت؟

243 مربع

اثبات

----------------------------------------------------------------------------------------

مثلثی که محیطش بینهایت ولی مساحتش عدد ثابتی است

همونطور كه توی شكل میبینید اگر نقطه ی A را روی خط سبز رنگ به سمت بینهایت میل بدیم دو ضلع AB و AC مثلث هم به بینهایت میل میكنند كه این باعث میشود محیط مثلث هم بینهایت شود ولی ارتفاع مثلث یعنی AH و ضلع BC ثابت می مانند كه این باعث میشود مساحت مثلث ثابت بماند.

از قدیم ریاضی به دو دسته ی حساب و هندسه تقسیم میشده در یونان بیشتر ریاضیدانان بزرگ به علم هندسه پرداخته اند زیرا در آن زمان كه یونانی ها برده داری میكردند علومی را كه كاربردی بود تحقیر میكردند زیرا آنها تمام كارها و علوم كاربردی را مختص برده ها می دانستند و چون فكر میكردند كه علم هندسه كاربردی ندارد به علم هندسه پرداختند و كشفهای زیادی را در هندسه به دست آوردند ولی در زمینه ی حساب ضعف های زیادی داشتند البته در چند سده ی آخر كه بیشتر دانشمندان به اسكندریه رو آورده بودند كارهای اندكی در زمینه ی ریاضیات محاسبهای داشتند.یونانی ها حتی نتوانستند راه ساده ای برای عدد نویسی پیشنهاد كنند و عددها را به كمك حروف الفبا مینوشتند. اما در سده ها و هزاره های پیش از دانش یونان مردمی كه در سرزمینهای ایران، بابل، مصر، چین و جاهای دیگر زندگی می كردند از آن جا كه به كاربرد های ریاضیات نظر داشتند نه تنها در عدد نویسی، كه به طور كلی در زمینه های مختلف ریاضیات محاسبه ای، بسیار پیشرفته بودند و با عددهای كوچك و بزرگ كار می كردند.

روابط جالب در ریاضی

1=1?1

121=11?11

12321=111?111

1234321=1111?1111

...

2121=21?101

3838=38?101

9393=93?101

قانون: هر عددی در 101 ضرب شود در حاصل دوبار تكرار می شود

ابتکار گوس

در ریاضیات آنچه كه مهم است فكر كردن، استدلال كردن و نتیجه گرفتن است . ریاضیات راهی برای اندیشیدن و روشی برای استدلال و درست فكركردن است . استدلال وسیلهای است كه به كمك آن میتوان از روی اطلاعاتی كه داریم حقایقی را كشف كنیم . البته ریاضیات به تجربه و مشاهده نیز مربوط می شود ولی قسمت اعظم آن همان اندیشیدن، استدلال كردن و نتیجه گرفتن است. گوس ریاضی دان آلمانی ده ساله بود. روزی معلم از دانش آموزان كلاس خواست كه مداد و كاغذ بردارند و حاصل جمع اعداد 100 تا1 را به دست آورند. دو دقیقه نگذشته بود كه معلم گوس را دید كه به كار دیگری مشغول است از او پرسید : چرا مسأله را حل نمی كنی؟ او جواب داد: تمام شد. معلم با ناراحتی گفت: این غیر ممكن است ولی كوس گفت: خیلی هم آسان بود

اول چنین نوشتم : 100+99+98+97+...+3+2+1

و بعد چنین: 1+2+3+...+96+97+98+99+100

و جفت جفت از اول با آخر جمع كردم :

101+101+101+...+101+101+101+101 بدین ترتیب 50 تا عدد 101 به دست آوردم كه حاصل جمع آنها

میشود 5050=101?50 پس حاصل جمع اعداد 1 تا100

میشود 5050

پلهای کونیسبرگ

در این شکل از یک نقطه شروع کرده از روی همه ی خطها (پلها) فقط یک بار رد شده و به نقطه اولیه باز گردید.

اویلر ریاضیدان مشهور ثابت کرده است که این کار امکان پذیر نیست.او نشان داد که عبور از خطها مانند مساله یافتن دوری است که از یک نقطه شروع و تمام خطها را فقط یک بار طی کرده و به نقطه شروع برسیم.اگر چنین دوری پیدا شود باید در طول مسیر به هر نقطه ای که میرسیم دو خط (یال)به ان نقطه برسد; یک راه ورودی و یک راه خروجی.البته بجز دو نقطه , یعنی نقطه ای که مسیر شروع میشود و دیگر وقتی که مسیر به پایان میرسد , تعداد خطهایی (یالهایی)که از یک نقطه (راس)منشعب میشود , باید عددی زوج باشد.در صورتی که در مورد پلهای کونیسبرگ این امکان وجود نداشت; چون نقاط (راسهای) A , B , C , D با تعداد خطهای (یالهای)فرد به نقاط (راسهای)دیگر وضل میشد.هم اکنون مساله پلها با قرار دادن خط هشتم(پل هشتم)حل شده است.ایا شما میتوانید با قرار دادن یک خط این مساله را حل کنید؟؟؟

پارادوکس حرکت !!

یک روز زنون از اهالی الئا یکی از فلاسفه بزرک یونان که شیفته پارادوکسها بود اعلام کرد :(( حرکت غیر ممکن است. )) او استدلال کرد برای به هدف رسیدن یک پیکان, ان پیکان ابتدا باید نصف مسافت را طی کند, سپس نصف مسافت باقیمانده را به همین صورت تا اخر;به طوری که به نظر میرسد پیکان هرگز به هدف نخواهد رسید(قضیه limit ).اما در واقع از انجا که مسافتها کوچکتر پی در پی کوتاهتر میرسد به این نتیجه میرسیم که پیکان به هدف خواهد رسید. 

قضیه اخر فرما

شانس

در حالت کلی وقتی یک پدیده ای به شکل تصادفی رخ نیدهد احتمال به وقوع پیوستن پیشامد خاصی از این پدیده قابل محاسبه است.برای به دست اوردن احتمال کافی است تعداد حالتهای مطلوب برای به وقوع پیوستن ان پیشامد خاص را بر تعداد کل حالتهای ممکن تقسیم کنیم .به طور مثال وقتی از بین کارتهای ? تا ?? کارتی تصادفی بر میداریم احتمال ان که عدد اول را بر داشته باشیم برابر است با چهار دهم زیرا کل حالتها ?? و تعداد حالتهای مطلوب (اعداد اول بین ? تا ?? )? است.

دنباله فیبوناچی

قضیه اویلر

'' سریهای جالب ''

دستگاه شمارش دودویی

1+1=10

دستگاه شمارش دودیی را لایب نیتز ریاضی دان المانی کشف کرده است.رایانه ها طوری طراحی شده اند که برای محاسبه از این دستگاه شمارش استفاده کنند و محاسبه های پیچیده انجام دهند.

 دودویی

دهدهی 

 دودویی

 دهدهی

 1000

 8

 0

 0

 1001

 9

 1

 1

 1010

 10

 10

 2

 1011

 11

 11

 3

 1100

 12

 100

 4

 1101

 13

 101

 5

 1110

 14

 110

 6

 1111

 15

 111

 7

5+6=11

 101

110+

1011

13+9=22

 1101

1001+

10110

هر عدد در مبنای دودویی را میتوان به این صورت در مبنای دهدهی نمایش داد:

20*1+ 21*0+ 22*0+ 23*0 + 24*1+ 25*1= 2(110001)

49 = 1+0+0+0+16+32=

لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح كرد : فرض كنید كه یك جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یك جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد انها Fn  را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.

پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یك جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میكند.

سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند: Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یك ماه تولید میشود و بعد از یك ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میكند ... تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است كه با Fn-1 نشان داده میشود .

پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از این فورمول و مقادیر اولیه  F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یك سال بدست اورد و نوشت F12=233 .

سری اعداد Fn را دنباله فیبوناچی مینامند. با یك توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع میشود (بطوری كه جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

حالا اگر در این دنباله هر عدد را به عدد قبلیش تقسیم كنیم یك همچین سری را خواهیم داشت:

1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1?5,   5/3 = 1?666...   8/5 = 1?6,   13/8 = 1?625,   21/13 = 1?61538  و ...

كه هرچه جلو بریم بنظر می اید كه به یك عدد مخصوص میرسیم . برای بهتر دیدن موضوع به نمودار زیر توجه كنید:

ما این عدد را عدد طلایی مینامیم كه این عدد تقریبا برابر است با :      ... 1.618033  

به عبارتی دیگر حد این دنباله به عدد طلایی میرسد:

  سری فیبوناچی در طبیعت :

حالا میام و به این دنباله به صورت دیگری نگاه میكنیم : اگر ما دو مربع به ضلع یك در كنار هم بگزاریم و در بالا اندو یك مربع با ضلع 2 بگزاریم و همین طوری تا اخر ...  ما شكلی خواهیم داشت مثل شكل پایین :

این مستطیل به مستطیل فیبوناچی معروف است.حالا اگر نقاطی از این شكل را به هم وصل كنیم به شكل زیر میرسیم :

كه شبیه این شكل را میتوان در طبیعت و در شكل زیر دید:

از دیگر مثالهای این دنباله در طبیعت میتوان به دانه های گل افتابگردن یا به تعداد گلبرگ بعضی گلها اشاره كرد (برای اطلاعات بیشتر به اینجا یا  اینجا مراجعه كنید) .

عدد طلایی

قبلا در مورد چگونگی بدست اوردن عدد طلایی از طریق دنباله فیبوناچی صحبت شد.حالا در مورد راههای دیگر بدست اوردن این عدد صحبت میكنیم ... 

در زمانهای قدیم هنرمندان یونانی به خوبی ریاضی دانان مستطیل زیبایی می شناختند كه از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در این مستطیل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطیل با همان نسبتهای مستطیل اصلی باقی میماند .

چون مستطیل جدید عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهای دو مستطیل با هم برابر است :

حالا اگر در معادله ی بالا برای X حل كنیم ریشه ی مثبت معادله همان عدد طلایی است:

در دنیای ریاضی این عدد را با نشانه یونانی 

  (خوانده میشود فی ) نمایش میدهند ... ( برای اطلاعات بیشتر در مورد عدد طلایی به این صفحه یا این صفحه   یا این صفحه مراجعه كنید )

استفاده های این عدد :

هرم " ریم پاپیروس " در اهرام ثلاثه یكی از قدیمی ترین مثالها از استفاده از این عدد در ساخت بناهاست ...

اگر عرض یكی از شالهای این هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسیم كنیم جواب 1.6 خواهد بود ...

باستان شناسان مطمئن نیستند كه ایا این كار از قصد انجام شده یا اتفاقی بوده است !

مطلب جالب دیگر این است كه اگر قطر این هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسیم كنیم جواب عدد پی (3.14) خواهد بود .  

مثال دیگر در بنای پارتنون در یونان وجود دارد .برای ساخت این بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطیل طلایی استفاده شده است:

در شكل زیر نقشه این بنا را میتوانید ببینید ... امتحان كنید ببینید وقتی طول هر كدام از مستطیلهای در شكل را به عرض ان تقسیم میكنید عدد طلایی بدست می اید؟؟؟

چگونگی كشیدن یك مستطیل طلایی :

برای كشیدن یك مستطیل طلایی ابتدا بك مربع با ضلع دلخواه كشیده سپس طبق شكل زیر وسط ضلع پایین این مربع را پیدا كنید.بعد از این با یك پرگار یك قوس با شعاعی به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بكشید تا طول مستطیل معلوم شود .

از استفاده های دیگر این عدد :

- هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم كنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیكتر باشد ان فرد باهوشتر است.(این ثابت نشده است ... برای اطلاعات بیشتر به اینجا مراجعه كنید !)

- طول هرسه بند انگشت یكی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید . اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم كنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند كوچك انجام دهید. جواب ؟

- از طریق این عدد متوان مقدار پی را تا دو رقم اعشار دقیق بدست اورد :

در این سایت میتوانید عدد طلایی را تا پنجاه هزار رقم اعشار ببینید !!

سایتی كامل و جامل در باره عدد طلایی ! (حتما توصیه میشود )

این هم یك مقاله دیگه !

http://riazichi.com/content-4.html